0
雷锋网按：2017 年高考刚刚结束，据相关媒体报道，7 日下午，在没有网络和题库支持的情况下，一个名为 Al-Maths 的机器人在 22 分钟内完成了文科数学北京卷，并取得了 105 分的成绩（满分 150 分），一时引发了公众的普遍关注和讨论。本文将试着从数学解题思维的角度出发，对比机器学习的一般性认知逻辑，为大家揭秘高考机器人的内部工作原理。原文作者怒放的生命，原载于芥末堆，雷锋网已获授权。
最近频繁看到机器人参加高考的消息，学校教育培养的人才还不如一个机器的报道甚嚣，且尘上矣。笔者不才，从事十几年教学和教育技术研究，对机器人参加高考的宣传报道怎么兴趣荡然无存呢。
近期的一则报道说高考机器人数学成绩以93分收场，我们研究高考数学试卷可以知道基础分数为90分，也就是我们所说的”比着葫芦画瓢”也可以拿到90分，老师辅导高三学生备考的时候，经常给学生规范题型模板，只要是往里套公式，基本可以拿到这个比较低的分数，可以感觉目前机器学习是无穷对比的结果。借鉴计算机视觉理论创始人马尔的三级论定义，机器学习中关于数据的处理与分析，包含三个方面：
● 首先是应用问题导向，主要应用是已有的模型和方法解决一些实际问题，相当于数据挖掘；
● 其次是应用问题的需要，提出和发展模型、方法和算法以及研究支撑它的数学原理或者理论基础等，这是核心；
● 第三就是通过推理达到某种智能。数据挖掘接近于数据端，机器学习接近于智能端。
《高中数学课程标准》指出，高中数学应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。学生们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程，数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。
我谈一下学生学习知识的解题逻辑和思维经历。
中学生接触最多的是狭义标准化上的数学题，说到标准包括两个基本要素：条件（已知条件，题干条件），结论（未知，求解，求证，求作）。解题就是沟通条件与结论之间的联系，包括解和解题依据。解题比做打仗，那么解题者的“兵力”就是数学基础知识，解题者的“兵器”就是数学基本方法，而调动数学基础知识、运用数学基本方法的数学解题学正是“兵法”。
《数学解题学引论》中认为数学解题的信息过程包括这样一个“三位一体”的工作。
1. 有用捕捉：从理解题意中捕捉有用的信息，主要是弄清条件是什么？结论是什么？如何建立条件与结论之间的逻辑联系？通过感知和以前学过的图示知识，从题目的叙述中获取“符号信息”，从题目图形中获取“形象信息”。知识与图示知识是“有用捕捉”的基础。
2. 有关提取：即在“有用捕捉”的刺激下，通过回想而从记忆储存中提取有关的信息，图示知识：定理、公式、基本模式、解题经验等解题依据或解题凭借。良好的认知结构和机智的策略选择是连续提取、不断捕捉的基础。
3. 有效组合：将“有用捕捉”和“有关提取”两组信息进行有效组合。逻辑思维能力是有效组合的基础，而“逻辑结构”是否有效，其基本要求应能说服自己、说服论敌。
这三个步骤往复循环，依信息的反馈而由大脑来调节，解题信息过程如图1所示：
从信息论的观点分析例1的解题过程，则是两个维度上相关信息的有效组合，即从理解题意中捕捉有用的信息，从记忆中提取有关的信息，并把这两组信息组成一个和谐的逻辑结构。
可见，数学解题的思维过程是一个“三位一体”的工作．
例1的分析充分体现了解题者的思维过程，也正是解题教学中教师应该向学生充分展示的过程。因为例1的难度不大，甚至还能“简单模仿”，但是很难让学生上升到“自发领悟”和“自觉分析”的顿悟层次，对提高学生解题能力起不了多大作用。
1）解题方法
这里说的解题方法，是指中学阶段用于解答数学题的方法。此处将其分为3类，分别为具有创立学科功能的方法，体现一般思维规律的方法，具体进行论证演算的方法。
1. 具有创立学科功能的方法。如公理化方法、模型化方法、化归方法、结构化方法，以及集合论方法、极限方法、坐标方法、向量方法等。在具体解题中，具有统率全局的作用。
2. 体现一般思维规律的方法。如观察、试验、比较、分类、猜想、类比、联想、归纳、演绎、分析、综合等。在具体解题中，有通理通法、适应面广的特征，常用于解题思路的探求。
3. 具体进行论证演算的方法。这又可以依其适应面分为两个层次，第一层次是适应面较广的求解方法，如消元法、换元法、降次法、待定系数法、反证法、同一法、数学归纳法（及递推法）、坐标法、三角法、数形结合法、构造法、配方法等；第二层次是适应面较窄的求解技巧，如因式分解中的“裂项法”，函数作图中的“描点法”，以及三角函数作图中的“五点法”，几何证明中的“截长补短法”、“补形法”，数列求和中的“裂项相消法”“倒序求和”“错位相减法”等。
仅仅是不等式的证明，我们就可以列举出一长串的解法或技巧：比较法、放缩法、综合法、分析法、递推法、反证法、基本不等式法、叠加法、连乘法、数学归纳法、判别式法、求极值法、配方法、辅助函数法、构造法、微分法等，而微分法又可以有求极值、确定单调性、中值定理等形式。
2） 解题策略
注重解题策略的研究已经构成中国解题的一个特色，它可以看成是对波利亚现代启发性解题策略研究的继承与发展，徐利治教授提出的RMI原理是这方面工作的杰出代表。
1. 策略是指导行动的方针，同时也是增强效果、提高效率的艺术，它区别于具体的途径或方式。数学解题的策略是为了实现解题目标而采取的方针。解题策略的思维基础是逻辑思维、形象思维、直觉思维的共同作用，离开逻辑是不行的，单靠逻辑是不够的。
2. 解题策略介于具体的求解方法与抽象的解题思想之间，是思想转化为操作的桥梁，一方面它是用来具体指导解题的方法，另一方面它又是运用解题方法的方法、寻找解题方法的方法、创造解题方法的方法。
如果把解题策略理解为选择与组合的一系列规则，那么这些规则应该具有迅速找到较优解题操作的基本功能，能够减少尝试或失败的次数，能够节省探索的时间和缩短解题的长度，体现出选择的机智和组合的艺术。
总之解题思维是来自身体经验的，并非来自语言和文字标签，语言也是来自身体经验的。但是智力越发展，语言的重要性也越大。
假如例1题变式为：向量OA坐标为（3,4），按照逆时针方向旋转135°到向量OB，求B点坐标。
按照三位一体的思维理论，学生很容易通过向量和两角和与差的余弦定理去建立解题逻辑。而机器人的所谓神经网络学习模式攫取的底层标签都是向量相关的，解题逻辑的建立就太难了。
机器学习的认知逻辑是如果涉及“认知发生”，各种导图、图谱统统都是无效的。不涉及“认知发生”时，图谱、导图在一些教学场景下能提供仅仅部分有效的支持。比如：“认知发生”是指“你不能想象吃米饭的动作，你就无法理解啥叫吃米饭”。也即：如果要让学生理解“吃米饭”这一逻辑的前提是，学生能想象“吃米饭动作”这一身体经验。当我们没有直接的“吃米饭”的经验，但是有“吃”的经验以及“大米”的经验时，语言可以协助我们想象“吃米饭”的经验。这种“概念拼装”可能会有部分的“失真”，但确实是可以促进的。这也就是“教”的意义。在复杂认知技能的有效学习方面，模拟任务环境中的重要性，心理逼真度>功能逼真度>物理逼真度。
学习分析数据模型
高考机器人意在通过整合最先进的人工智能技术，检验人工智能可在多大程度上模拟人类思考以及解决问题的能力，希望用自适应的方式帮助K12阶段的学生学习。有些公司通过手机App的拍照搜题，在线一对一等多种渠道进行数据收集，这些数据包含学生在做题、考试等应用场景中的种种行为表现，充其量是记忆平台用来检测，而非创造性思维。对此，有业内人士表示，高考机器人能在多大程度上落地值得商榷，像有的互联网巨头也在投入巨额资金做人工智能，但是离社会化应用和行业应用还有很长的路要走。更不要借用“高考机器人”和机器人可以考上一本的噱头去迎合部分人心理，机器短期内适应不了原创题高考的选拔性考试。
感谢北京大学概率统计系张志华教授、常象宇博士论文资料等等。
统计制度《机器学习：统计与计算之恋》《中国计算机学会通讯》
《教育数据挖掘》2012年12月出版，张少刚，魏顺平博士
《深度学习的7种有力策略》（美）艾瑞克尼克尔森
雷锋网相关阅读：
机器人参加2017年数学高考得105分，最快答题时间不用1s
雷峰网版权文章，未经授权禁止转载。详情见转载须知。
