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雷锋网按:本文原作者李飞腾,本文整理自知乎专栏——数字编程。雷锋网已获得转载授权。
如果能二秒内在脑袋里解出下面的问题,本文便结束了。
已知:,其中。
求:,,。
到这里,请耐心看完下面的公式推导,无需长久心里建设。
首先,反向传播的数学原理是 “求导的链式法则” :
设和为的可导函数,则。
接下来介绍
矩阵、向量求导的维数相容原则
利用维数相容原则快速推导反向传播
编程实现前向传播、反向传播
卷积神经网络的反向传播
这一节展示如何使用链式法则、转置、组合等技巧来快速完成对矩阵、向量的求导
一个原则维数相容,实质是多元微分基本知识,没有在课本中找到下列内容,维数相容原则是我个人总结:
维数相容原则:通过前后换序、转置 使求导结果满足矩阵乘法且结果维数满足下式:
如果, ,那么。
利用维数相容原则解上例:
step1:把所有参数当做实数来求导,,
依据链式法则有,,
可以看出除了,和的求导结果在维数上连矩阵乘法都不能满足。
step2:根据 step1 的求导结果,依据维数相容原则做调整:前后换序、转置
依据维数相容原则,但中、,自然得调整为;
同理:,但 中、,那么通过换序、转置我们可以得到维数相容的结果。
对于矩阵、向量求导:
“当做一维实数使用链式法则求导,然后做维数相容调整,使之符合矩阵乘法原则且维数相容” 是快速准确的策略;
“对单个元素求导、再整理成矩阵形式” 这种方式整理是困难的、过程是缓慢的,结果是易出错的(不信你试试)。
如何证明经过维数相容原则调整后的结果是正确的呢?直觉!简单就是美...
神经网络的反向传播求得 “各层” 参数和的导数,使用梯度下降(一阶 GD、SGD,二阶 LBFGS、共轭梯度等)优化目标函数。
接下来,展示不使用下标的记法(, or)直接对和求导,反向传播是链式法则和维数相容原则的完美体现,对每一层参数的求导利用上一层的中间结果完成。
这里的标号,参考 UFLDL 教程 - Ufldl
前向传播:
(公式 1)
(公式 2)
为第层的中间结果,为第层的激活值,其中第层包含元素:输入,参数、,激活函数,中间结果,输出。
设神经网络的损失函数为(这里不给出具体公式,可以是交叉熵、MSE 等),根据链式法则有:
这里记 ,其中 、 可由 公式 1 得出,加转置符号是根据维数相容原则作出的调整。
如何求 ? 可使用如下递推(需根据维数相容原则作出调整):
其中、 。
那么我们可以从最顶层逐层往下,便可以递推求得每一层的
注意:是逐维求导,在公式中是点乘的形式。
反向传播整个流程如下:
1) 进行前向传播计算,利用前向传播公式,得到隐藏层和输出层 的激活值。
2) 对输出层 (第层),计算残差:
(不同损失函数,结果不同,这里不给出具体形式)
3) 对于的隐藏层,计算:
4) 计算各层参数、偏导数:
大部分开源 library(如:caffe,Kaldi/src/{nnet1,nnet2})的实现通常把、作为一个 layer,激活函数作为一个 layer(如:sigmoid、relu、softplus、softmax)。
反向传播时分清楚该层的输入、输出即能正确编程实现, 如:
(公式 1)
(公式 2)
(1) 式 AffineTransform/FullConnected 层,以下是伪代码:
注: out_diff = 是上一层(Softmax 或 Sigmoid/ReLU 的 in_diff)已经求得:
(公式 1-1)
(公式 1-2)
(公式 1-3)
(2) 式激活函数层(以 Sigmoid 为例)
注:out_diff = 是上一层 AffineTransform 的 in_diff,已经求得,
在实际编程实现时,in、out 可能是矩阵 (通常以一行存储一个输入向量,矩阵的行数就是 batch_size),那么上面的 C++ 代码就要做出变化(改变前后顺序、转置,把函数参数的 Vector 换成 Matrix,此时 Matrix out_diff 每一行就要存储对应一个 Vector 的 diff,在 update 的时候要做这个 batch 的加和,这个加和可以通过矩阵相乘 out_diff*input(适当的转置)得到。
如果熟悉 SVD 分解的过程,通过 SVD 逆过程就可以轻松理解这种通过乘积来做加和的技巧。
丢掉那些下标记法吧!
卷积怎么求导呢?实际上卷积可以通过矩阵乘法来实现(是否旋转无所谓的,对称处理,caffe 里面是不是有 image2col),当然也可以使用 FFT 在频率域做加法。
那么既然通过矩阵乘法,维数相容原则仍然可以运用,CNN 求导比 DNN 复杂一些,要做些累加的操作。具体怎么做还要看编程时选择怎样的策略、数据结构。
快速矩阵、向量求导之维数相容大法已成。
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