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编辑丨青暮
线性代数（linear algebra）是关于向量空间和线性映射的一个数学分支。
现代线性代数的历史可以上溯到19世纪中期的英国。1843年，爱尔兰数学家哈密顿发现四元数。1844年，赫尔曼·格拉斯曼发表他的著作《线性外代数》（Die lineare Ausdehnungslehre），包括今日线性代数的一些主题。1848年，詹姆斯·西尔维斯特引入矩阵（matrix）。阿瑟·凯莱在研究线性变换时引入矩阵乘法和转置的概念。很重要的是，凯莱使用一个字母来代表一个矩阵，因此将矩阵当做了聚合对象。他也意识到矩阵和行列式之间的联系。
多少学子魂牵梦绕、夜不能寐的现代线性代数就是这样形成的。
古语有云：线代虐我千百遍，我待线代如初恋。搜索“线代太难了”，谷歌秒给我726, 000个相关结果。
一些同学忍不住吐槽，做线代题感觉自己像个傻子......（摸摸头）
无论是结构力学到人工智能，深究理工科研究之后会发现到处都是线性代数的身影。线性代数的地位真的重要，这是科研人、技术人在实践中的最大感受。许多算法都用到线性代数知识，比如非常热门的深度学习，它的底层实现方式用到好多线性代数方面的知识。如果底层基础打不好，不明白其中的原理，算法实现方式真的很难理解，更不可能去创新了。
12月3日，Facebook 人工智能研究院发布最新研究，可以用Transformers解决线性代数问题了！
论文地址：https://arxiv.org/pdf/2112.01898.pdf
Transformer 是 Google 的团队在 2017 年提出的一种 NLP经典模型。Transformer采用注意力机制（ Self-Attention）来提高模型训练速度，它抛弃了传统的CNN和RNN，整个网络结构完全是由Attention机制组成。主要由两部分组成：encoder和decoder。
Transformer最初为机器翻译设计，后被应用于各种问题，从文本生成到图像处理、语音识别等等。在数学中，Transformer大多应用集中在符号计算上，它“操作”数学符号，就像“操作”自然语言中的单词一样。
但数学≠ 符号处理：许多实际应用涉及数值计算，精确（如算术）或近似（如函数计算、方程数值解）。使用Transformer数值计算的研究较少，而且多数早期算术实验结果差强人意。
但有一个不可回避的问题：数学和科学中的大多数问题都涉及符号计算和数值计算。如果我们希望Transformer端对端解决这些问题，它们就必须能进行高精度数值计算。
作者François Charton训练Transformer计算线性代数问题的解，线性代数是许多科学问题的基本组成部分：矩阵的基本运算、矩阵求逆、特征值和奇异值分解。
接下来我们将介绍四种将问题和解决方案表示为Transformer可处理的编码方案，在生成的随机矩阵数据集上训练小型Transformer（最多 6 层，1000 到 5000 万个可训练参数）。训练过的模型计算问题的近似解（到其L1范数的几个百分比），精确度超过90%（大多数情况下为99%）。
同时，泛化训练过的模型，通过更多样化的数据集（特别是具有非独立和相同分布系数矩阵进行的训练），能够大大提高域外精度。
作者相信这些结果为Transformer打开了全新世界的大门，为Transformer作为数学和科学问题的端对端解算器铺平了道路。
第一步，将矩阵编码为序列。
因为问题的输入和输出是矩阵，要由Transformer处理，它们需要转换为token序列。
首先对一个m×n矩阵进行编码，将其维度编码为两个符号标记（Vm和Vn），然后是其mn系数，编码为序列。在本文中，使用了四种矩阵系数的编码方案：P10、P1000、B1999 和 FP15。
在基数为 10 的位置编码 (P10) 中，是五个标记的序列：一个符号标记（+ 或 -）、尾数的 3 位数字（从 0 到 9）和符号标记（来自E-100到E+100) 的指数。
例如，3.14 将表示为
，并编码为
。下图中展示了一些编码的示例。
第二步，随机矩阵生成。
大多数实验是在均匀分布的随机矩阵数据集上训练模型的，[−A, A] (with A = 10)。有时，也对具有相同标准偏差
的高斯系数进行采样。
在研究特征值问题的分布外泛化时，生成具有不同特征值分布的随机对称矩阵（对应于具有非 iid 系数的随机矩阵）。为此，作者运用高斯系数随机采样对称矩阵M，并计算它们的特征值分解
P是特征向量的正交矩阵。然后，用从另一个分布采样的对角线D'替换M的特征值的对角矩阵D。
最后重新计算
，一个对称矩阵（因为P是正交的），特征值按选择分布，特征向量均匀分布在单位球面上。
学习转置矩阵相当于学习其元素的排列。矩形矩阵的排列涉及更长的周期。作者研究了两个公式：
1.固定大小情况，数据集中所有矩阵都具有相同维度，只需要学习一个排列。
2.可变大小的情况，数据集包括不同维度的矩阵，尽可能多的排列学习。
在编码器和解码器中使用四种编码方案，并数据集上训练1 层、256 个维度和 8 个注意力头的Transformer。模型学会在超过 99% 的测试用例准确预测解决方案（具有 0% 的容差）。
学习两个m×n矩阵的加法相当于学习输入和输出位置之间的对应关系（如在转置问题中），以及在mn对元素上执行浮点表示中两个数字相加的算法。作者对此训练了 1 层或 2 层、8 个注意力头和 512 个维度的 Transformer。
对于大小不超过 10 的固定大小矩阵的加法，包括n=m和n≠m两种情况，在 1% 的容差范围达到99% 准确率（并且在 0.5% 内超过 98%）。FP15 模型在 15×15 矩阵的 0.5% 容差内实现了 99.5% 准确率，而 B1999 模型在 20×20 矩阵上实现了 89.7% 准确率和 1% 的容差。
维度高达 10 的可变大小矩阵由 2 层Transformer使用 B1999 编码预测，准确率超过 99.5%，容差为 1%。编码器中有一层，解码器中有 6 层的模型在相同的数据集上实现了 77% 和 87% 的准确率。下图总结了实验结果。
维数为m×n的矩阵M与向量
相当于计算V和M之间的m个点积。
每次点积计算包含n个乘法和n − 1 个加法，涉及矩阵中的其中一行和向量中的所有系数。模型必须了解这2n个元素在计算中的位置，以及两个运算（加法和乘法）。
通过对1 层或2 层、超过5×5矩阵的模型进行实验，作者观察到P10和P1000编码的模型才能训练到高精度。P1000编码性能最好，两层和一层模型之间差别不大。对于5×5和10×10平方矩阵，采用P1000编码的2层Transformer可实现99.9%以上的精度，容差为1%。结果汇总在下图中。
矩阵M和P的乘法是矩阵向量乘法的进阶版本，其对矩阵 P 中的每一列向量执行上述运算。和以前一样，只有使用P10和P1000的编码模型才能训练高精度预测。
超过5×5矩阵和类似大小的矩形矩阵，训练模型精度与向量乘法相同（在 1% 容差下超过 99%），但需要更深的解码器（4 到 6 层）。
我们把注意力转向由迭代算法解决的非线性问题。
作者在编码器或解码器中训练 4 层或 6 层的模型，用以预测对称矩阵的特征值。
对于 5×5 随机矩阵的样本，在 5% 的容差下达到 100% 的准确率，在所有四种编码下达到 98.5% 的 1%。对于 8×8 矩阵，在 5% 和 1% 的容差下实现了 100% 和 85% 的准确率。
但也遇到了瓶颈，对于大规模问题，模型难以学习：在 10×10 矩阵上，3.6 亿个示例可达 25% 的准确率和 5% 的容差。相比之下，对于5×5矩阵，模型在大约 4000 万个样本中训练到最高准确率，对于8×8矩阵，模型在大约 6000 万个样本中训练到最高准确率。
这个限制通过在可变大小的数据集上训练模型能够克服。在维度为 5-10、5-15 和 5-20 的矩阵样本上，模型在 5% 的容差下达到 100% 的准确率，在 1% 容差下达到 88%、94% 和 45%。使用 5-15 模型，10×10 矩阵的特征值可以在 2% 的容差下以 100% 的准确率进行预测，在 1% 容差时为 73%。结果如下图所示。
除了特征值，作者还预测了特征向量的正交矩阵。
在5×5矩阵上，使用P10和P1000编码的模型在5%容差的情况下，实现了97.0%和94.0%的准确率。FP15 型号的性能较弱，准确率为51.6%，但非对称型号，带有6层FP15编码器和1层P1000解码器，在5%容差下的准确率为93.5%，在1%容差下的准确率为67.5%。P1000模型可以预测6×6矩阵的特征向量，预测准确率为81.5%。
5×5矩阵的求逆比之前任务难度更大，P10模型的准确率为 73.6%，P1000模型的准确率为80.4（5%容差，6层编码器和1层解码器）。
注意力头数量增加到 10 和 12 对准确率基本没影响，但可以加快训练速度：在大约2.5亿个示例中，8头模型的训练准确率达到75%。非对称模型实现了最高的准确率（90.0%）。
虽然这项任务与特征分解有关，但事实证明它的学习难度更大：使用P10或P1000编码的多达6层Transformer可以预测4×4矩阵的奇异值分解。单奇异值（容差为5%和1%）的准确率较高，分别为100%和86.7%，完全分解的准确率分别为98.9%和75.3%。
此外，域外泛化和再训练中，作者为了训练模型，生成独立同分布 (iid) 系数的随机n×n矩阵，从[−A, A]上的均匀分布中采样。
Transformer如果想要解决线性代数问题，了解在 Wigner 矩阵上训练模型在不同特征值分布的矩阵上执行方法十分重要。
研究人员创建了 10,000 个矩阵的测试集，其分布与训练集不同。然后，生成不同特征值分布的矩阵的测试集：正特征值（特征值替换为其绝对值的 Wigner 矩阵），以及根据均匀、高斯或拉普拉斯定律的特征值分布，标准偏差为 
和
。
为了提高分布外的准确性，作者在具有不同特征值分布的数据集上训练新模型，并在之前创建的测试集上评估它们。
最终得到一个重要结果：常被视为随机矩阵默认模型的 Wigner 矩阵可能不是训练Transformer的最佳选择。非分布泛化需要特别注意训练数据的生成。
2021-12-10
2021-12-09
2021-12-12
2021-12-25
2021-12-29
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